NRC Handelsblad 14-12-2002

Het Parool van 24-08-2002, Pagina 25, Wetenschap

ESCHERS WITTE VLEK WISKUNSTIG OPGEVULD

Graficus Maurits Escher tekende een prent die door een ingenieuze vervorming zichzelf bevat, maar liet het midden wit. Leidse wiskundigen hebben het gat in Prentententoonstelling gedicht. Wat zou de meester er zelf van gevonden hebben?

HET IS EEN van de meer psychedelisch aandoende prenten van volksgraficus Maurits Escher: Prentententoonstelling (1956), waarin een toeschouwer in een overdekte galerij tuurt naar een schilderij van een mediterrane stad aan zee. De witte gebouwen van de stad ontstijgen met een draaikolk-achtige vervorming het schilderij, en blijken naadloos aan te sluiten op de overdekte galerij waarin de toeschouwer nog steeds staat te turen. Alleen in het centrum van de prent lijkt Escher niet meer wijs te kunnen uit zijn zelf ontworpen vervorming. Hij heeft het wit gelaten, op zijn handtekening na.

'Ik kende die prent al langer,' zegt prof.dr. Hendrik Lenstra, een specialist in de getaltheorie die pendelt tussen de Leidse universiteit en het Californische Berkeley. Bladerend in een tijdschrift op een atlantische vlucht stuitte Lenstra weer op de tekening. 'Toen ik er zo naar keek, vroeg ik me af of er een goede wiskundige reden was om in het midden op te houden,' vertelt hij in zijn Leidse werkkamer.

Voor de wiskundige, enthousiast drager van een Escher-stropdas en ook anderszins tuk op popularisering van zijn vak, was de vraag het begin van een twee jaar durend project. Samen met een aantal collega's en studenten analyseerde Lenstra de wiskundige structuur van Eschers vervorming, om vervolgens de witte vlek op een logische manier dicht te breien.

De eerste stap, het ontrafelen van de vervorming, was meteen de lastigste, vertelt dr. Bart de Smit, Lenstra's collega. Uit een werktekening van Escher was bekend welk schema hij gebruikte om de vervorming van het originele Middellandse-Zeetafereel uit te voeren.

Het is een recht rooster waarop een kolk-achtige draaiing is toegepast, waardoor de vierkantjes naar het midden toe kleiner worden. Dat is nodig om de schaal van de tekening naar het midden toe kleiner te laten worden, en dat is weer van essentieel belang om de stad in het kleine schilderij op de grote galerij aan te laten sluiten.

'Het rooster heeft Escher gewoon door eindeloos experimenteren gemaakt,' weet Lenstra, die zich afvroeg of het wiskundige idee erachter ook te achterhalen zou zijn: een formule die het rooster definieert.

De oplossing vond de wiskundige bij het lezen van aantekeningen van Escher. Die beschrijft dat hij na veel vruchteloos gepuzzel met rechte lijnen maar besluit om gebogen lijnen te gebruiken in zijn rooster. 'De oorspronkelijke vierkanten blijven dan ook beter vierkant,' meldt de graficus tevreden.

Dat was cruciale informatie. 'Dat de vorm van de vierkanten behouden blijft, is wiskundig een bekend begrip,' zegt Lenstra. Zogenaamde 'conforme afbeeldingen' zijn transformaties van een afbeelding waarin de details niet vervormen. Een rechte hoek in het origineel is na de transformatie ook een rechte hoek, en alleen op grotere schaal worden verbuigingen en schaalveranderingen duidelijk.

Met de eis dat de transformatie conform was, bleef er eigenlijk nog maar één mogelijkheid over, realiseerde Lenstra zich. In jargon: een machtsverheffing in het complexe vlak . Vrij eenvoudig, verzekert de wiskundige.

Met het eenmaal gevonden rooster en vervormingssoftware die student Joost Batenburg schreef was het relatief eenvoudig om de originele prent 'recht' te trekken. Dat leverde een tamelijk saai plaatje op van een man die naar een schilderij kijkt. De witte vlek uit het origineel is omgetoverd tot een windhoos-achtige spiraal, die begint in de linkerbovenhoek en eindigt op het schilderij, precies daar waar met een vergrootglas heel klein de galerij weer te zien is.

DOORDAT Escher bij het maken van prent en rooster wat gesjoemeld had, zaten er nog wat onregelmatigheden in de gladgetrokken prent. Bovendien ontbraken er door de te grote witte vlek wat details. De wiskundigen vroegen daarom kunstenaar Hans Richter om een nieuwe versie te maken, mét de ontbrekende details en zonder rare buigingen. Dat plaatje konden de wiskundigen volgens inmiddels bekend recept weer terug transformeren en met grijstinten invullen.

Resultaat: een nieuwe prentententoonstelling, zonder witte vlek. Die is opgevuld met perfect aansluitende details: een miniatuurversie van de prentengalerij, deze keer op zijn kop. Daarop verder inzoomen levert alweer een minuscule prentengalerij op, deze keer weer bijna rechtop, enzovoort, tot in het oneindige.

'Dat had ik me van tevoren niet gerealiseerd,' zegt Lenstra, maar eigenlijk is er sprake van een ingewikkelde vorm van het Droste-effect - genoemd naar de oude pakjes Droste-cacao, die een afbeelding van zichzelf bevatten.

Lenstra betwijfelt of Escher, die weinig formele wiskundige scholing had, ook geweten heeft van de oneindige herhaling die zich verborg achter de witte vlek. Escher, zo is bekend, was meestal gevleid maar licht sceptisch als wiskundigen belangstelling hadden voor zijn werk, en kon er zeker niet op niveau over meepraten.

Toch is het serieuze wiskunde, de trucs die de Leidenaren aan de prent ontfutselden, zegt Lenstra. 'Het laat zien dat je wiskunde kunt gebruiken voor problemen die ook nog iets betekenen als je de wiskunde er later weer uithaalt,' legt hij monter uit. Wat je er verder mee kunt? 'Mooie plaatjes maken. Lol hebben.'

Een animatie van het eindeloos inzoomen op de gevulde Escherprent is te vinden op http://escherdroste. math.leidenuniv.nl.
De 'voltooide' prent van Escher, met rechtsboven een detail van het nieuwe centrum - waarop het Droste-effect goed te zien is. Rechts onder het origineel: M.C. Escher, 'Print Gallery' (c)